複雑な形状の面積や体積が求められるということには、大きな意味があります。数学や物理では、確立分布や速度などあらゆるものが数式で表されます。数式が分かれば、そこから積分処理を行って解析が行えるのです。
積分には不定積分と定積分があります。不定積分は微分と反対の操作になります。
積分を使って微小要素を足し合わせることで、 面積や体積の計算する ことができます。積分を使うことによって、複雑な形状(曲線や局面で囲まれた図形など)の面積や体積を求められるのです。例えば、下の図の灰色の範囲の面積を計算で求められるようになります。
複雑な形状の面積や体積が求められるということには、大きな意味があります。数学や物理では、確立分布や速度などあらゆるものが数式で表されます。数式が分かれば、そこから積分処理を行って解析が行えるのです。
積分には不定積分と定積分があります。不定積分は微分と反対の操作になります。
複雑な形状の面積や体積が求められるということには、大きな意味があります。数学や物理では、確立分布や速度などあらゆるものが数式で表されます。数式が分かれば、そこから積分処理を行って解析が行えるのです。
積分には不定積分と定積分があります。不定積分は微分と反対の操作になります。
下に3つの積分計算の基本を示します。
$ 1. \displaystyle \int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} +C (n≠-1)$
$ 2. \displaystyle \int kf(x) dx = k \displaystyle \int f(x) dx $
$ 3. \displaystyle \int {f(x) \pm g(x)} dx = \displaystyle \int f(x) dx \pm \displaystyle \int g(x) dx $
次は積分の基本公式です。
公式を使って、実際に積分計算をしてみましょう。上の公式表を参考にしてください。
| $f(x)$ | $\int f(x)dx$ |
|---|---|
| $\sin x$ | $-\cos x +C$ |
| $\cos x$ | $\sin x +C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x +C$ |
| $e^x$ | $e^x +C$ |
| $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\log a} +C (a>0 \land a \neq 1)$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\log\vert x\vert +C$ |
| $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ | $\log \vert f(x)\vert +C$ |
問１ $\displaystyle \int 3x^2 -2x -1 dx$
$ = \int 3x^2 dx - \int 2x dx - \int 1 dx $ $ = 3\int x^2 dx -2\int x dx -1\int dx $ $ = 3 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - 2 \cdot \dfrac {1}{2}x^2 - 1 \cdot x $ $ = x^3 - x^2 - x + C (C：任意定数)$問２ $\displaystyle \int 3\cos t dx$
$ = 3 \int \cos t dx $ $ = 3 \sin t + C $問３ $\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2 + 1} dx$
公式 $\displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| (f(x)≠0)$ の形にもっていく。 $ 与式 = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} dx $ これで、 $\displaystyle \int \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} dx $ の形になったので $ = \dfrac{1}{2} ln|x^2 + 1| + C $ 部分積分
ここからは、少し複雑な積分の公式を見てみましょう。
まずは部分積分です。部分積分は、二つの関数の積を積分するときに使える積分方法です（かならずしも二つの関数の積を積分できるとは限りませんが…）
$ 1. \displaystyle \int f'(x)\cdot g(x) = f(x)\cdot g(x) - \displaystyle \int f(x)\cdot g'(x) dx $
$ 2. \displaystyle \int f(x)\cdot g'(x) = f(x)\cdot g(x) - \displaystyle \int f'(x)\cdot g(x) dx $
$ f^n \cdot f'$ の積分
$ \displaystyle \int f^n \cdot f' dx = \dfrac{1}{n+1}f^{n+1} (ただし、n≠-1) $
置換積分
置換積分は以下のような公式で表されます。
$ \displaystyle \int f(g(x))\cdot g'(x) dx = \int f(t) dt $
定積分
三角関数の定積分の公式を下に示します。下の公式では、$m, n$ は自然数とします。
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx dx = 0$
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx dx = 0$
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cdot \cos nx dx = 0$
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cdot \cos nx dx = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}
\pi (m = n) \\
0 (m \neq n)
\end{array} \right.\end{eqnarray}$
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cdot \sin nx dx = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}
\pi (m = n) \\
0 (m \neq n)
\end{array} \right.\end{eqnarray}$
区分求積法を理解できれば、積分がどんなものかがはっきりと見えてきます。区分求積法の公式を以下に示します。
\[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(\dfrac{m}{n}) = \int_0^1 f(x) dx\]
複雑に見えるかもしれませんが、内容は簡単です。ざっくり言うと、積分区間を細かく刻んでできたたくさんの長方形の面積を全部足し合わせているだけなのです。区分求積法のイメージを以下の図で示し、解説します。
$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸と曲線 $y = f(x)$ に囲まれた面積を考えます。上図のように幅 $\dfrac{1}{n}$ の長方形を全て足し合わせるのですが、長方形の幅 $\dfrac{1}{n}$ を $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$ とすれば、x軸と $f(x)$ に挟まれた面積を正確に求められると言っているのです。区分求積法の公式の右辺は、$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸と $f(x)$ に挟まれた面積を表していますね。
では、左辺はどうでしょう。下の図でわかりやすく説明しましょう。
$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸をn当分します。すると、上図のように、幅 $\dfrac{1}{n}$、高さ $f(\dfrac{m}{n})$ の長方形がたくさん並びます。それぞれの長方形は、右上の頂点が $y=f(x)$ のy座標と一致しています。
ここで、この長方形のうち m 番目のひとつを抜きだして、面積 $Sm$ を計算してみましょう。幅は $\dfrac{1}{n}$、高さは $f(\dfrac{m}{n})$ なので、
$Sm = \dfrac{1}{n}\cdot f \dfrac{k}{n} (k = 1,2,3,\cdot,n)$
次に $ 0≦x≦1 $ の区間の全ての長方形の面積を足してみると、
$\displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } S_m = \displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } \dfrac{1}{n}\cdot f\dfrac{k}{n}$
もうほとんど区分求積法の中身が見えてきたでしょう。
さらに長方形の幅 n を限りなく細くしてやると、$y=f(x)$ の面積がより正確に求まると思いませんか。
さて、それでは下図のように、$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$（短冊の幅を極限まで小さくする）にしてみましょう。
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(\dfrac{m}{n}) $
これで左辺の完成です。
$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸と曲線 $y = f(x)$ に囲まれた面積を考えます。上図のように幅 $\dfrac{1}{n}$ の長方形を全て足し合わせるのですが、長方形の幅 $\dfrac{1}{n}$ を $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$ とすれば、x軸と $f(x)$ に挟まれた面積を正確に求められると言っているのです。区分求積法の公式の右辺は、$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸と $f(x)$ に挟まれた面積を表していますね。
では、左辺はどうでしょう。下の図でわかりやすく説明しましょう。
$ 0≦x≦1 $ の区間で、x軸をn当分します。すると、上図のように、幅 $\dfrac{1}{n}$、高さ $f(\dfrac{m}{n})$ の長方形がたくさん並びます。それぞれの長方形は、右上の頂点が $y=f(x)$ のy座標と一致しています。
ここで、この長方形のうち m 番目のひとつを抜きだして、面積 $Sm$ を計算してみましょう。幅は $\dfrac{1}{n}$、高さは $f(\dfrac{m}{n})$ なので、
$Sm = \dfrac{1}{n}\cdot f \dfrac{k}{n} (k = 1,2,3,\cdot,n)$
次に $ 0≦x≦1 $ の区間の全ての長方形の面積を足してみると、
$\displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } S_m = \displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ n } \dfrac{1}{n}\cdot f\dfrac{k}{n}$
もうほとんど区分求積法の中身が見えてきたでしょう。
さらに長方形の幅 n を限りなく細くしてやると、$y=f(x)$ の面積がより正確に求まると思いませんか。
さて、それでは下図のように、$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }$（短冊の幅を極限まで小さくする）にしてみましょう。
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(\dfrac{m}{n}) $
これで左辺の完成です。
積分計算の知識を使って、円の面積公式を積分を使って導出してみましょう。
(この章の内容を動画で見たい方は、このYoutube動画からどうぞ
※ただし、この動画では円の面積を四分割して計算しています(文章内では二分割で計算))
皆さんは、円の面積が $ S = \pi r^2 $ となることを知っていると思います。中学生の頃に習ったでしょうか。
では、なぜ円の面積が $ S = \pi r^2 $ となるかわかるでしょうか。
実はこの公式は積分計算を使って導くことができるんです。では、実践してみましょう。
半径 $r$ の円の方程式は $ x^2+y^2=r^2 $ です。
これを $y$ について解くと $ y =±\sqrt{r^2 - x^2} $ となりますね。この式のプラス側は $ y =\sqrt{r^2 - x^2} $ ですが、これは下のように円の上半分を表します。
この式を $x$ で、 $-r$ から $r$ まで積分すれば、この半円の面積を計算できますね。つまり、次の式を計算するのです。
$ \displaystyle \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx $
一見ややこしい積分計算ですが、置換積分を使えばすっきりします。 以下のように、 $x$ を $ \theta $ に置き換えます。
$ x = r\sin \theta (-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}) $
この式の両辺を $ \theta $ で微分します。
$ \dfrac{dx}{d\theta} = r\cos \theta $ これで $x$ の式を $ \theta $ の式に置き換えられそうです。
$ \displaystyle \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx $
$ = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 - (r \sin\theta)^2} (r\cos\theta) d\theta $
$ = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos\theta d\theta $
$ 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta $ なので
$ = r^2 \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta $
半角の公式から、$ \cos^2 \theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}\ $ となるので
$ = r^2 \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta $
$ = \dfrac{r^2}{2} \left[\theta + \dfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} $
$ = \dfrac{r^2}{2} {(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sin \pi}{2}) - (-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sin (-\pi)}{2})} $
$ = \dfrac{r^2}{2} \cdot \pi $
$ = \dfrac{\pi r^2}{2} $
これで半円の面積が $ = \dfrac{\pi r^2}{2} $ になることが分かりました。円の面積はこれを2倍して $ S = \pi r^2 $ となるわけです。
この式を $x$ で、 $-r$ から $r$ まで積分すれば、この半円の面積を計算できますね。つまり、次の式を計算するのです。
$ \displaystyle \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx $
一見ややこしい積分計算ですが、置換積分を使えばすっきりします。 以下のように、 $x$ を $ \theta $ に置き換えます。
$ x = r\sin \theta (-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}) $
この式の両辺を $ \theta $ で微分します。
$ \dfrac{dx}{d\theta} = r\cos \theta $ これで $x$ の式を $ \theta $ の式に置き換えられそうです。
$ \displaystyle \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} dx $
$ = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 - (r \sin\theta)^2} (r\cos\theta) d\theta $
$ = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos\theta d\theta $
$ 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta $ なので
$ = r^2 \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta $
半角の公式から、$ \cos^2 \theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}\ $ となるので
$ = r^2 \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta $
$ = \dfrac{r^2}{2} \left[\theta + \dfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} $
$ = \dfrac{r^2}{2} {(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sin \pi}{2}) - (-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sin (-\pi)}{2})} $
$ = \dfrac{r^2}{2} \cdot \pi $
$ = \dfrac{\pi r^2}{2} $
これで半円の面積が $ = \dfrac{\pi r^2}{2} $ になることが分かりました。円の面積はこれを2倍して $ S = \pi r^2 $ となるわけです。